Persiapan Ulangan  Harian Persamaan Lingkaran dan Persamaan Garis Singgung Lingkara  

 

Soal dan Pembahasan
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, –1) dan menyinggung sumbu y.

Penyelesaian:
lingkaran menyinggung sumbu y, artinya bagian samping lingkarannya menempel pada sumbu y, dan jari-jari lingkarannya adalah jarak titik pusat ke garis singgungnya.
Jika lingkaran ini kita gambarkan, akan terlihat seperti berikut.

Dan pusat lingkaran P(a, b) = (3, –1), artinya a = 3 dan b = –1

Substitusikan panjang jari-jari lingkaran (r = 3), nilai a = 3 dan b = –1 pada persamaan lingkaran dengan pusat O(a, b), sehingga diperoleh
(x – a)² + (y – b)² = r²
⇔ (x – 3)² + (y – (–1))² = 3²
⇔ (x – 3)² + (y + 1)² = 9
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 3)² + (y + 1)² = 9

2. Tentukan persamaan lingkaran standar dengan pusat T(3,–4) dan menyinggung garis 4x – 3y – 20 = 0.

Penyelesaian:
Karena jari-jarinya masih belum diketahui, maka langkah pertama mengerjakannya adalah mencari jari-jarinya dengan menggunakan rumus jarak titik terhadap garis.

Pada soal diketahui titik pusat lingkarannya T(1,–2)
r = jarak titik ke garis

 Pada soal diketahui titik pusat lingkarannya T(1,–2)
r = jarak titik ke garis
 

 

 

 

 

 

Substitusikan panjang jari-jari lingkaran yang telah kita peroleh (r = 2), dan titik pusat lingkarannya T(1,–2) pada persamaan lingkaran, sehingga diperoleh
(x – a)² + (y – b)² = r²
⇔ (x – 1)² + (y – (–2))² = 2²
⇔ (x – 1)² + (y + 2)² = 4
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 1)² + (y + 2)² = 4

 ontoh Soal dan Pembahasan

3.  Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 6 satuan.

Jawaban :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x² + y² = r².

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 6:

x² + y² = 6²

x² + y² = 36

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 6 satuan adalah x² + y² = 36.

 

4. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 9 satuan.

Jawaban :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x² + y² = r².

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 9:

x² + y² = 9²

x² + y² = 81

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 9 satuan adalah x² + y² = 81.

 

 

5. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis y = 7.

Jawaban :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x² + y² = r².

Dalam kondisi tersebut, kita dapat menentukan jari-jari lingkaran dengan menghitung jarak titik pusat (0, 0) dengan garis y = 7. Jarak antara titik (0,0) dengan garia y = 7 adalah 7 satuan. Sehingga jari-jari lingkaran tersebut adalah 7 satuan.

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 7:

x² + y² = 7²

x² + y² = 49

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis y = 7 adalah x² + y² = 49.

 

 

6.  Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis x = -10.

Jawaban :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x² + y² = r².

Dalam kondisi tersebut, kita dapat menentukan jari-jari lingkaran dengan menghitung jarak titik pusat (0, 0) dengan garis x = -10. Jarak antara titik (0,0) dengan garia x = -10 adalah 10 satuan. Sehingga jari-jari lingkaran tersebut adalah 10 satuan.

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 10:

x² + y² = 10²

x² + y² = 100

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis x = -10 adalah x² + y² = 100.

 

 

7.  Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (1, 2) dan berjari-jari 5 satuan.

Jawaban :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah (x – a)² + (y – b)² = r².

Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 2) dan berjari-jari 5:

(x – 1)² + (y – 2)² = 5²

(x² – 2x + 1) + (y² – 4y + 4) = 25

x² – 2x + 1 + y² – 4y + 4 – 25 = 0

x² + y² – 2x – 4y – 20 = 0

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (1, 2) dan berjari-jari 5 satuan adalah x² + y² – 2x – 4y – 20 = 0.

 

 

8. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (-4, 3) dan berjari-jari 8 satuan.

Jawaban :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah (x – a)² + (y – b)² = r².

Persamaan lingkaran yang berpusat di (-4, 3) dan berjari-jari 8:

(x + 4)² + (y – 3)² = 8²

(x² + 8x + 16) + (y² – 6y + 9) = 64

x² + 8x + 16 + y² – 6y + 9 – 64 = 0

x² + y² + 8x – 6y – 39 = 0

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (-4, 3) dan berjari-jari 8 satuan adalah x² + y² + 8x – 6y – 39 = 0.

9. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan melalui titik (-5, 12).

Jawaban :

Dalam menentukan persamaan lingkaran, unsur-unsur yang harus diketahui adalah titik pusat dan jari-jari. Pada soal di atas, jari-jari lingkaran belum diketahui. Perlu diingat bahwa jari-jari adalah jarak titik pusat ke titik pada sekeliling lingkaran. Dengan demikian kita bisa menghitung jari-jari lingkaran dengan menentukan jarak titik (0, 0) ke titik (-5, 12).

Persamaan lingkaran yang berpusat di (4, 1) dan berjari-jari 5:

 

(x – 4)² + (y – 1)² = 5²

(x² – 8x + 16) + (y² – 2y + 1) = 25

x² – 8x + 16 + y² – 2y + 1 – 25 = 0

x² + y² – 8x – 2y – 8 = 0

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (4, 1) dan melalui titik (8, -2) adalah x² + y² – 8x – 2y – 8 = 0.

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 10 di titik (1, 3).

Jawaban :

Titik (1, 3) terletak pada lingkaran x² + y² = 10.

Maka persamaan garis singgungnya adalah:

x.x₁ + y.y₁ = 10

x.1 + y.3 = 10

x + 3y = 10

x + 3y – 10 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 10 di titik (1, 3) adalah x + 3y – 10 = 0.

 

10. . Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 29 di titik (-2, 5).